4) На сторонах угла BAC и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла BAC.

Пусть \(\angle BAC=2x\). Так как \(AD\) — биссектриса, \(\angle BAD=\angle DAC=x\). По условию \(AB=AD=AC\).

В треугольнике \(ABD\) стороны \(AB\ne AD\)? По условию они равны, значит треугольник равнобедренный с вершиной при \(A\); его углы при основании равны \(\frac{180^\circ-x}{2}\). Аналогично, в треугольнике \(ADC\) углы при основании также равны \(\frac{180^\circ-x}{2}\).

Если точки \(B,D,C\) расположены вокруг угла так, как следует из условия (лучи \(AB,AC\) — стороны угла, а \(AD\) — внутренняя биссектриса), то угол \(BDC\) зависит от взаимного расположения точек и из данных равенств получаем меньший угол между \(DB\\) и \(DC\), равный \(180^\circ-2x\). Следовательно, \(180^\circ-2x=160^\circ\), откуда \(x=10^\circ\), и \(\angle BAC=2x=20^\circ\).

Ответ: 20°.