3. К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB=12 см, AO=13 см.

Решение:

По условию, AB — касательная к окружности, проведенная из точки A. Точка B лежит на окружности. AO — секущая, проходящая через центр окружности O. Точка A находится вне окружности.

Так как AB — касательная, то радиус OB, проведенный в точку касания B, перпендикулярен касательной AB. Следовательно, треугольник ABO является прямоугольным с прямым углом при вершине B.

В прямоугольном треугольнике ABO:

• AB = 12 см (катет)
• OB = r (радиус окружности, катет)
• AO = 13 см (гипотенуза)

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

\[ AB^2 + OB^2 = AO^2 \]

\[ 12^2 + r^2 = 13^2 \]

\[ 144 + r^2 = 169 \]

\[ r^2 = 169 - 144 \]

\[ r^2 = 25 \]

\[ r = \sqrt{25} \]

\[ r = 5 \text{ см} \]

Ответ: Радиус окружности равен 5 см.