4. На стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E так, что AD = CE. Докажите, что если BD = BE, то AB = BC.

Пусть O — середина AC. Из AD = CE следует, что точки D и E расположены симметрично относительно O, то есть O — середина DE.

Так как BD = BE, точка B равноудалена от D и E. Следовательно, B лежит на серединном перпендикуляре к DE. Этот перпендикуляр проходит через O и перпендикулярен AC.

Поскольку O — также середина AC, прямая через O, перпендикулярная AC, является серединным перпендикуляром к AC. Значит, BA = BC.

Доказано: AB = BC.