4. На стороне ВС параллелограмма АВСД взята точка М так, что АВ = ВМ. а) Докажите, что АМ — биссектриса угла ВАД. б) Найдите периметр параллелограмма, если длина стороны СД = 8 см, а СМ = 4 см.

а) В треугольнике АВМ стороны АВ и ВМ равны, поэтому он равнобедренный, а углы при основании равны: \(\angle BAM = \angle AMB\).

Поскольку \(AD \parallel BC\), а точки B, M, C лежат на одной прямой, лучи MB и AD параллельны и направлены противоположно. Поэтому \(\angle AMB = \angle MAD\). Следовательно, \(\angle BAM = \angle MAD\), то есть AM — биссектриса угла BAD.

б) В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB = CD = 8\) см. По условию \(BM = AB = 8\) см. Так как M лежит на BC и \(CM = 4\) см, то \(BC = BM + CM = 8 + 4 = 12\) см.

Тогда периметр равен \(2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 40\) см.

Ответ: 40 см.