4. Найди значение выражения: \( \frac{(9^4)^2 \cdot 729^2}{81^6} \).

Решение:

Для решения данного выражения, представим все числа в виде степеней числа 3, так как \( 9 = 3^2 \), \( 729 = 3^6 \), \( 81 = 3^4 \).

1. Перепишем числитель: \( (9^4)^2 = ( (3^2)^4 )^2 = (3^{2 \cdot 4})^2 = (3^8)^2 = 3^{8 \cdot 2} = 3^{16} \).
2. Перепишем вторую часть числителя: \( 729^2 = (3^6)^2 = 3^{6 \cdot 2} = 3^{12} \).
3. Перепишем знаменатель: \( 81^6 = (3^4)^6 = 3^{4 \cdot 6} = 3^{24} \).
4. Теперь подставим полученные степени в исходное выражение:
   \( \frac{3^{16} \cdot 3^{12}}{3^{24}} \).
5. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием в числителе: \( 3^{16} \cdot 3^{12} = 3^{16+12} = 3^{28} \).
6. Выражение примет вид: \( \frac{3^{28}}{3^{24}} \).
7. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:
   \( 3^{28-24} = 3^4 \).
8. Вычислим значение \( 3^4 \):
   \( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81 \).

Ответ: 81.