4*. Найдите координаты точки \(M\), лежащей на оси абсцисс и равноудалённой от точек \(P(-1;\ 3)\) и \(K(0;\ 2)\).

Так как точка \(M\) лежит на оси абсцисс, обозначим её координаты: \(M(x;0)\).

По условию расстояния до точек \(P\) и \(K\) равны. Приравняем их квадраты:

\[MP^2=(x+1)^2+(0-3)^2=(x+1)^2+9,\]

\[MK^2=x^2+(0-2)^2=x^2+4.\]

Составим уравнение:

\[(x+1)^2+9=x^2+4.\]

\[x^2+2x+1+9=x^2+4,\]

\[2x=-6,\qquad x=-3.\]

Следовательно, координаты точки:

Ответ: \(M(-3;\ 0)\).