4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2 на отрезке [0; 2]

4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

Дана функция \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \) на отрезке \( [0; 2] \).

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x + 2)' = 3x^2 - 12x + 9 \).
2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: \( f'(x) = 0 \)
   \( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \)
   \( x^2 - 4x + 3 = 0 \)
   \( (x-1)(x-3) = 0 \)
   \( x = 1 \) или \( x = 3 \).
3. Отметим критические точки, которые принадлежат отрезку \( [0; 2] \). Это \( x = 1 \). Точка \( x = 3 \) не принадлежит отрезку.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
   • \( f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9(0) + 2 = 2 \).
   • \( f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 1 - 6 + 9 + 2 = 6 \).
   • \( f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) + 2 = 8 - 6(4) + 18 + 2 = 8 - 24 + 18 + 2 = 4 \).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 6 (при \( x=1 \)), наименьшее значение равно 2 (при \( x=0 \)).