4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке: f(x) = 5 + 6x – x² на отрезке [1;4].

Решение:

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = (5 + 6x - x^2)' = 6 - 2x \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 6 - 2x = 0 \)
3. \( 2x = 6 \)
4. \( x = 3 \)
5. Точка \( x = 3 \) принадлежит отрезку [1;4].
6. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
7. \( f(1) = 5 + 6(1) - (1)^2 = 5 + 6 - 1 = 10 \)
8. \( f(3) = 5 + 6(3) - (3)^2 = 5 + 18 - 9 = 14 \)
9. \( f(4) = 5 + 6(4) - (4)^2 = 5 + 24 - 16 = 13 \)
10. Сравним полученные значения: 10, 14, 13.
11. Наибольшее значение равно 14, наименьшее — 10.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 14, наименьшее — 10.