5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = -x² + 4x; y = 0; x = 1; x = 3.

Решение:

Площадь фигуры можно найти с помощью определенного интеграла. Нам нужно найти площадь под кривой \( y = -x^2 + 4x \) на отрезке от \( x = 1 \) до \( x = 3 \).

\( S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x) dx \)

1. Найдем первообразную функции \( -x^2 + 4x \): \( F(x) = -\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \)
2. Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( S = F(3) - F(1) \)
3. \( F(3) = -\frac{(3)^3}{3} + 2(3)^2 = -\frac{27}{3} + 2(9) = -9 + 18 = 9 \)
4. \( F(1) = -\frac{(1)^3}{3} + 2(1)^2 = -\frac{1}{3} + 2 = \frac{-1 + 6}{3} = \frac{5}{3} \)
5. \( S = 9 - \frac{5}{3} = \frac{27 - 5}{3} = \frac{22}{3} \)

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{22}{3} \) квадратных единиц.