4. Найдите наибольшее значение выражения \(2a(b-a)+(2-b)(2+b)\). При каких \(a\) и \(b\) оно достигается?

Преобразуем выражение, используя формулу разности квадратов:

\[2a(b-a)+(2-b)(2+b)=2ab-2a^2+4-b^2.\]

Дополнением до квадратов получаем:

\[2ab-2a^2+4-b^2=4-\frac{(b-a)^2}{2}-\frac{3a^2}{2}.\]

Квадраты неотрицательны, поэтому выражение не превосходит 4. Равенство достигается, когда \(b-a=0\) и \(a=0\), то есть при \(a=b=0\).

Ответ: наибольшее значение равно 4; оно достигается при \(a=0\), \(b=0\).