4. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 253 и 207, б) 50 и 49, в) 120, 180 и 200.

Решение:

1. а) НОД(253; 207)
1. Разложим числа на простые множители:
2. \( 253 = 11 \cdot 23 \)
3. \( 207 = 3 \cdot 69 = 3 \cdot 3 \cdot 23 = 3^2 \cdot 23 \)
4. Общий множитель — 23.
5. б) НОД(50; 49)
1. Разложим числа на простые множители:
6. \( 50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2 \)
7. \( 49 = 7^2 \)
8. Общих простых множителей нет, значит, НОД равен 1.
9. в) НОД(120; 180; 200)
1. Разложим числа на простые множители:
10. \( 120 = 10 \cdot 12 = 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \)
11. \( 180 = 10 \cdot 18 = 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
12. \( 200 = 10 \cdot 20 = 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^2 \)
13. Общие простые множители: \( 2 \) и \( 5 \).
14. Возьмём наименьшие степени этих множителей: \( 2^2 \) и \( 5^1 \).
15. \( 2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20 \)

Ответ: а) 23; б) 1; в) 20.