4. Найдите неопределенный интеграл: ∫ (4x - 1)(x² + 1) dx.

Решение:

1. Раскроем скобки в подынтегральной функции: \( (4x - 1)(x^2 + 1) = 4x(x^2 + 1) - 1(x^2 + 1) = 4x^3 + 4x - x^2 - 1 \).
2. Интеграл принимает вид: \( \int (4x^3 - x^2 + 4x - 1) dx \).
3. Найдем интеграл, используя правила интегрирования: \( \int 4x^3 dx - \int x^2 dx + \int 4x dx - \int 1 dx \).
4. \( 4 \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + 4 \frac{x^2}{2} - x + C \).
5. Упростим выражение: \( x^4 - \frac{x^3}{3} + 2x^2 - x + C \).

Ответ: \( x^4 - \frac{x^3}{3} + 2x^2 - x + C \).