4. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13.

Решение:

1. Найдем второй катет прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \), где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза.

Пусть \( a = 12 \) (данный катет), \( c = 13 \) (гипотенуза). Найдем \( b \).

\( 12^2 + b^2 = 13^2 \)

\( 144 + b^2 = 169 \)

\( b^2 = 169 - 144 \)

\( b^2 = 25 \)

\( b = \sqrt{25} = 5 \) (второй катет).

2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \( S = \frac{1}{2}ab \).

\( S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 \)

\( S = 6 \cdot 5 = 30 \) квадратных единиц.

Ответ: 30.