7. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 5. Запишите решение и ответ.

Так как $$AM$$ — биссектриса $$\angle A = 60^{\circ}$$, то $$\angle BAM = \angle MAD = 30^{\circ}$$. Так как $$AD \parallel BC$$, то $$\angle AMB = \angle MAD = 30^{\circ}$$ (накрест лежащие углы). В треугольнике $$ABM$$, $$\angle AMB = \angle BAM = 30^{\circ}$$, значит, треугольник $$ABM$$ равнобедренный, $$AB = BM = 5$$. Так как $$AM \perp DM$$, $$\angle AMD = 90^{\circ}$$. В треугольнике $$ADM$$, $$\angle MAD = 30^{\circ}$$, $$\angle AMD = 90^{\circ}$$, значит, $$\angle ADM = 60^{\circ}$$. В параллелограмме $$\angle A = 60^{\circ}$$, $$\angle D = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$$. В треугольнике $$ADM$$, $$\angle ADM = 120^{\circ} - \angle MDС$$. Угол $$DMC = 180 - 90 = 90$$. В треугольнике $$DMC$$, $$\angle C = 60$$. $$\angle MDC = 30$$. $$\angle ADM = 120$$. $$\angle ADC = 120$$. $$\angle ADM = 120 - 30 = 90$$. В треугольнике $$ADM$$, $$\tan(30^{\circ}) = DM/AD$$. $$DM = AD * (1/\sqrt{3})$$. $$AD = BC = BM + MC = 5 + MC$$. В треугольнике $$DMC$$, $$\tan(30^{\circ}) = DC/DM = 5/DM$$. $$DM = 5 / \tan(30^{\circ}) = 5\sqrt{3}$$. $$AD = DM / \tan(30^{\circ}) = 5\sqrt{3} / (1/\sqrt{3}) = 15$$. Периметр $$P = 2(AB + AD) = 2(5 + 15) = 40$$.