6. Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен \(\frac{5}{6}\). Найдите её большее основание, если меньшее основание равно высоте и равно 15.

Решение:

Обозначим трапецию ABCD, где AB || CD. Пусть AB — меньшее основание, CD — большее основание. Пусть \( AD \) — высота.

По условию:

• \( \tan D = \frac{5}{6} \) (тангенс острого угла при основании CD)
• \( AB = 15 \) (меньшее основание)
• \( AD = 15 \) (высота, равная меньшему основанию)

1. Проведем высоту из вершины B к основанию CD, пусть она пересекает CD в точке E. Тогда ABED — прямоугольник, и \( DE = AB = 15 \), \( BE = AD = 15 \).

2. В прямоугольном треугольнике BCE:

\( \tan C = \tan D = \frac{BE}{CE} \) (так как углы при большем основании трапеции равны).

\( \frac{5}{6} = \frac{15}{CE} \)

\( CE = \frac{15 \cdot 6}{5} = 18 \).

3. Большее основание CD равно сумме отрезков DE и CE:

\( CD = DE + CE = 15 + 18 = 33 \).

Ответ: 33.