4. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°.

Решение:

Пусть \( a = 6 \) и \( b = 2 \) — основания трапеции. Пусть \( c \) — большая боковая сторона, \( h \) — высота. Угол между большей боковой стороной и основанием равен 45°.

Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Образуется прямоугольный треугольник, где один катет — высота \( h \), другой катет — разность оснований \( a - b \), а гипотенуза — меньшая боковая сторона. Угол между гипотенузой (большей боковой стороной) и основанием — 45°.

В этом треугольнике:

\( \tan(45°) = \frac{h}{a-b} \)

Так как \( \tan(45°) = 1 \), то \( h = a - b \).

\( h = 6 - 2 = 4 \)

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{a+b}{2} \cdot h \]

\[ S = \frac{6+2}{2} \cdot 4 = \frac{8}{2} \cdot 4 = 4 \cdot 4 = 16 \]

Ответ: 16.