В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC = 17, \( \sin A = \frac{2\sqrt{5}}{5} \). Найдите ВС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где \( \angle C = 90° \), синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB).

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

Из условия \( \sin A = \frac{2\sqrt{5}}{5} \) и \( AC = 17 \).

Чтобы найти BC, нам сначала нужно найти длину гипотенузы AB. Мы можем использовать теорему Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).

Из формулы синуса:

\[ \frac{BC}{AB} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

\[ BC = \frac{2\sqrt{5}}{5} AB \]

Подставим это в теорему Пифагора:

\[ 17^2 + \left(\frac{2\sqrt{5}}{5} AB\right)^2 = AB^2 \]

\[ 289 + \frac{4 \cdot 5}{25} AB^2 = AB^2 \]

\[ 289 + \frac{20}{25} AB^2 = AB^2 \]

\[ 289 + \frac{4}{5} AB^2 = AB^2 \]

Вычтем \( \frac{4}{5} AB^2 \) из обеих сторон:

\[ 289 = AB^2 - \frac{4}{5} AB^2 \]

\[ 289 = \frac{1}{5} AB^2 \]

\[ AB^2 = 289 \cdot 5 = 1445 \]

\[ AB = \sqrt{1445} = \sqrt{289 \cdot 5} = 17\sqrt{5} \]

Теперь найдем BC:

\[ BC = \frac{2\sqrt{5}}{5} AB = \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot 17\sqrt{5} = \frac{2 \cdot 17 \cdot 5}{5} = 2 \cdot 17 = 34 \]

Ответ: 34.