4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 50 см, а разность диагоналей 20 см.

Дано:

• Ромб.
• Сторона $$a = 50$$ см
• Разность диагоналей $$d_1 - d_2 = 20$$ см

Найти: Площадь ромба $$S$$.

Решение:

1. Свойства ромба:
   • Все стороны равны ($$a=50$$ см).
   • Диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
   • Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
2. Составим систему уравнений:
   • Пусть $$d_1$$ и $$d_2$$ — диагонали. Тогда $$d_1 - d_2 = 20$$.
   • В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, выполняется теорема Пифагора: $$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$$.
   • Подставим $$a = 50$$: $$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 50^2 = 2500$$.
   • Умножим на 4: $$d_1^2 + d_2^2 = 10000$$.
3. Выразим одну диагональ через другую:
   • Из $$d_1 - d_2 = 20$$, следует $$d_1 = d_2 + 20$$.
4. Подставим в уравнение $$d_1^2 + d_2^2 = 10000$$:
   • $$(d_2 + 20)^2 + d_2^2 = 10000$$
   • $$d_2^2 + 40d_2 + 400 + d_2^2 = 10000$$
   • $$2d_2^2 + 40d_2 - 9600 = 0$$
   • Разделим на 2: $$d_2^2 + 20d_2 - 4800 = 0$$.
5. Решим квадратное уравнение для $$d_2$$ (через дискриминант):
   • $$D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \times 1 \times (-4800) = 400 + 19200 = 19600$$.
   • $$\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140$$.
   • $$d_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm 140}{2}$$.
   • $$d_2 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$$ см (отрицательный корень отбрасываем).
6. Найдем $$d_1$$:
   • $$d_1 = d_2 + 20 = 60 + 20 = 80$$ см.
7. Найдем площадь ромба:
   • Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$.
   • $$S = \frac{1}{2} \times 80 \text{ см} \times 60 \text{ см} = \frac{1}{2} \times 4800 \text{ см}^2 = 2400 \text{ см}^2$$.

Ответ: 2400 см²