5. Боковая сторона равнобокой трапеции образует с основанием угол 60°, а высота трапеции равна 6√3 см. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Дано:

• Равнобокая трапеция.
• Угол при основании $$\alpha = 60^{\circ}$$.
• Высота $$h = 6\sqrt{3}$$ см.
• В трапецию вписана окружность.

Найти: Площадь трапеции $$S$$.

Решение:

1. Свойство трапеции с вписанной окружностью:
   • Сумма оснований равна сумме боковых сторон: $$a + b = 2c$$, где $$a$$ и $$b$$ — основания, $$c$$ — боковая сторона.
   • Также, высота такой трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть $$h = 2r$$.
2. Найдем боковую сторону $$c$$:
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком основания. Угол при основании равен 60°, высота $$h = 6\sqrt{3}$$ см.
   • В этом прямоугольном треугольнике: $$\sin(60^{\circ}) = \frac{h}{c}$$.
   • $$\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{c} \)$$
   • $$\( c \times \sqrt{3} = 2 \times 6\sqrt{3} \)$$
   • $$\( c \times \sqrt{3} = 12\sqrt{3} \)$$
   • $$\( c = 12 \text{ см} \)$$
3. Найдем сумму оснований:
   • Так как в трапецию вписана окружность, то $$a + b = 2c$$.
   • $$\( a + b = 2 \times 12 \text{ см} = 24 \text{ см} \)$$
4. Найдем площадь трапеции:
   • Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a + b}{2} \times h$$.
   • Подставим найденные значения:
   • $$\( S = \frac{24 \text{ см}}{2} \times 6\sqrt{3} \text{ см} \)$$
   • $$\( S = 12 \text{ см} \times 6\sqrt{3} \text{ см} \)$$
   • $$\( S = 72\sqrt{3} \text{ см}^2 \)$$

Ответ: 72√3 см²