4. Найдите производную функции f(x)=√x(x+5).

Для нахождения производной функции $$f(x)=\sqrt{x}(x+5)$$ сначала раскроем скобки:

$$f(x) = x\sqrt{x} + 5\sqrt{x} = x^{3/2} + 5x^{1/2}$$.

Теперь продифференцируем функцию, используя правило дифференцирования степенной функции ($$(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$$):

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(5x^{1/2})$$

$$f'(x) = \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + 5 \cdot \frac{1}{2}x^{(1/2)-1}$$

$$f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{5}{2}x^{-1/2}$$

$$f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{5}{2\sqrt{x}}$$

Чтобы объединить, приведем к общему знаменателю:

$$f'(x) = \frac{3x + 5}{2\sqrt{x}}$$

Ответ: $$f'(x) = \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{5}{2\sqrt{x}}$$