8. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции f(x)=-x³-5x²+8x-3.

1. Промежутки монотонности:

Чтобы найти промежутки монотонности, нужно найти производную функции и определить, где она положительна (возрастание) и где отрицательна (убывание).

Найдем производную $$f'(x)$$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 - 5x^2 + 8x - 3) = -3x^2 - 10x + 8$$.

Найдем корни уравнения $$f'(x) = 0$$:

$$-3x^2 - 10x + 8 = 0$$

Умножим на -1:

$$3x^2 + 10x - 8 = 0$$.

Используем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(3)(-8) = 100 + 96 = 196$$.

$$\,\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$$.

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$.

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$$.

Парабола $$y = -3x^2 - 10x + 8$$ направлена ветвями вниз. Значит, $$f'(x) > 0$$ между корнями, и $$f'(x) < 0$$ вне корней.

Промежутки возрастания: $$\left(-\frac{2}{3}; 4\right)$$

Промежутки убывания: $$(-\infty; -4] \cup \left[\frac{2}{3}; +\infty\right)$$

2. Точки экстремума:

Точки экстремума находятся там, где производная меняет знак. Это точки $$x = -4$$ и $$x = \frac{2}{3}$$.

При переходе через $$x=-4$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

При переходе через $$x=\frac{2}{3}$$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.

Найдем значения функции в этих точках:

$$f(-4) = -(-4)^3 - 5(-4)^2 + 8(-4) - 3 = -(-64) - 5(16) - 32 - 3 = 64 - 80 - 32 - 3 = -51$$.

$$f\left(\frac{2}{3}\right) = -\left(\frac{2}{3}\right)^3 - 5\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 8\left(\frac{2}{3}\right) - 3 = -\frac{8}{27} - 5\left(\frac{4}{9}\right) + \frac{16}{3} - 3 = -\frac{8}{27} - \frac{20}{9} + \frac{16}{3} - 3 = \frac{-8 - 60 + 144 - 81}{27} = \frac{-5}{27}$$.

Точка минимума: $$(-4; -51)$$.

Точка максимума: $$\left(\frac{2}{3}; -\frac{5}{27}\right)$$.

Ответ: Промежутки монотонности: возрастание на $$\left(-\frac{2}{3}; 4\right)$$, убывание на $$(-\infty; -4] \cup \left[\frac{2}{3}; +\infty\right)$$. Точки экстремума: минимум в $$(-4; -51)$$, максимум в $$\left(\frac{2}{3}; -\frac{5}{27}\right)$$.