4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: y = x / (x² + 4).

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно найти первую производную функции и определить знаки на интервалах.

Найдем производную \( y' \) с помощью правила дифференцирования частного \( (u/v)' = (u'v - uv') / v^2 \):

\[ y' = \frac{(x)'(x^2 + 4) - x(x^2 + 4)'}{(x^2 + 4)^2} \]\[ y' = \frac{1 \cdot (x^2 + 4) - x \cdot (2x)}{(x^2 + 4)^2} \]\[ y' = \frac{x^2 + 4 - 2x^2}{(x^2 + 4)^2} \]\[ y' = \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2} \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2} = 0 \]\[ 4 - x^2 = 0 \]\[ x^2 = 4 \]\[ x = \pm 2 \]

Теперь определим знаки производной на интервалах:

• На интервале \( (-\infty, -2) \), например, при \( x = -3 \), \( y' = \frac{4 - (-3)^2}{((-3)^2 + 4)^2} = \frac{4 - 9}{(9 + 4)^2} = \frac{-5}{169} < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (-2, 2) \), например, при \( x = 0 \), \( y' = \frac{4 - 0^2}{(0^2 + 4)^2} = \frac{4}{16} > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (2, +\infty) \), например, при \( x = 3 \), \( y' = \frac{4 - 3^2}{(3^2 + 4)^2} = \frac{4 - 9}{(9 + 4)^2} = \frac{-5}{169} < 0 \). Функция убывает.

Ответ: Функция возрастает на интервале \( (-2, 2) \). Функция убывает на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (2, +\infty) \).