5. Вычислите интеграл: ∫[-1, 3] (x² + 4x)dx.

Решение:

Найдем первообразную для функции \( x^2 + 4x \):

\[ \int (x^2 + 4x) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + C = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + C \]

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{-1}^{3} (x^2 + 4x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_{-1}^{3} \]\[ = \left( \frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + 2 \cdot (-1)^2 \right) \]\[ = \left( \frac{27}{3} + 2 \cdot 9 \right) - \left( \frac{-1}{3} + 2 \cdot 1 \right) \]\[ = (9 + 18) - \left( -\frac{1}{3} + 2 \right) \]\[ = 27 - \left( -\frac{1}{3} + \frac{6}{3} \right) \]\[ = 27 - \frac{5}{3} \]\[ = \frac{81}{3} - \frac{5}{3} = \frac{76}{3} \]

Ответ: \( \frac{76}{3} \)