4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если сторона AB равна 16, а синус угла С равен 0,8.

Решение:

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся теоремой синусов:

\[ \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} = 2R \]

Где \( R \) — радиус описанной окружности, а \( a, b, c \) — стороны треугольника, противолежащие углам \( \alpha, \beta, \gamma \) соответственно.

В нашем случае, сторона AB (обозначим её как \( c \)) равна 16, а противолежащий угол — \( \angle C \) (обозначим как \( \gamma \)), синус которого равен 0,8.

Используем часть теоремы синусов:

\[ \frac{c}{\sin(\gamma)} = 2R \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{16}{0.8} = 2R \]

Вычислим:

\[ \frac{16}{0.8} = \frac{160}{8} = 20 \]

Таким образом, \( 2R = 20 \).

Теперь найдём радиус \( R \):

\[ R = \frac{20}{2} = 10 \]

Ответ: Радиус описанной окружности равен 10.