4. Найдите сумму всех целых решений неравенства log₂(x + 1) + log₂(x - 3) ≤ 5.

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
   Для логарифмов аргументы должны быть положительными:
   x + 1 > 0 ⇒ x > -1
   x - 3 > 0 ⇒ x > 3
   Объединяя условия, получаем ОДЗ: x > 3.
2. Преобразуем неравенство.
   Используем свойство логарифмов log_a M + log_a N = log_a (M × N):
   \[ \log_2((x + 1)(x - 3)) \le 5 \]
   Преобразуем правую часть неравенства в логарифм по основанию 2:
   \[ 5 = \log_2(2^5) = \log_2(32) \]
   Теперь неравенство выглядит так:
   \[ \log_2((x + 1)(x - 3)) \le \log_2(32) \]
3. Снимем логарифмы.
   Поскольку основание логарифма (2) больше 1, знак неравенства сохраняется:
   \[ (x + 1)(x - 3) \le 32 \]
   Раскроем скобки:
   \[ x^2 - 3x + x - 3 \le 32 \]
   \[ x^2 - 2x - 3 \le 32 \]
   Перенесем все в левую часть:
   \[ x^2 - 2x - 3 - 32 \le 0 \]
   \[ x^2 - 2x - 35 \le 0 \]
4. Решим полученное квадратное неравенство.
   Найдем корни квадратного трехчлена x² - 2x - 35 = 0.
   Используем теорему Виета или дискриминант:
   x₁ + x₂ = 2
   x₁ × x₂ = -35
   Корни: x₁ = 7, x₂ = -5.
   Парабола y = x² - 2x - 35 ветвями вверх, поэтому неравенство x² - 2x - 35 ≤ 0 выполняется между корнями:
   \[ -5 \le x \le 7 \]
5. Учтем ОДЗ.
   Мы получили, что -5 ≤ x ≤ 7, но согласно ОДЗ, x > 3. Пересечением этих условий является:
   \[ 3 < x \le 7 \]
6. Найдем сумму всех целых решений.
   Целые числа, удовлетворяющие условию 3 < x ≤ 7, это: 4, 5, 6, 7.
   Сумма этих чисел: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Ответ: 22