5. Двугранные углы при ребрах основания правильной четырехугольной пирамиды равны по 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее объем равен 36√3.

Дано:

• Пирамида правильная четырехугольная.
• Двугранный угол при ребре основания = 60°.
• Объем (V) = 36√3.

Найти: Площадь боковой поверхности (S_бок.)

Решение:

Обозначим:

• a — сторона основания.
• h — высота пирамиды.
• l — апофема (высота боковой грани).

1. Найдем связь между апофемой, высотой и двугранным углом.

В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при ребре основания — это угол между апофемой боковой грани и основанием. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (h), апофемой (l) и половиной стороны основания (a/2). Апофема является гипотенузой этого треугольника, а угол между апофемой и основанием равен 60°.

Из определения косинуса в этом треугольнике:

\[ \cos(60^\circ) = \frac{a/2}{l} \]

Так как cos(60°) = 1/2:

\[ \frac{1}{2} = \frac{a/2}{l} \]

⇒ l = a

Теперь найдем высоту h через апофему и половину стороны основания, используя теорему Пифагора или тригонометрию. Рассмотрим другой прямоугольный треугольник: вершина пирамиды, центр основания, середина стороны основания. Катеты — h и a/2, гипотенуза — апофема l.

Используя тангенс угла 60°:

\[ \tan(60^\circ) = \frac{h}{a/2} \]

Так как tan(60°) = √3:

\[ \sqrt{3} = \frac{h}{a/2} \]

⇒ h = \frac{\sqrt{3}}{2}a

2. Найдем сторону основания (a) через объем.

Объем пирамиды вычисляется по формуле V = (1/3) × S_осн. × h. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды S_осн. = a².

\[ V = \frac{1}{3} a^2 h \]

Подставим выражение для h:

\[ 36\sqrt{3} = \frac{1}{3} a^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right) \]
\[ 36\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} a^3 \]

Разделим обе части на √3:

\[ 36 = \frac{1}{6} a^3 \]

Умножим обе части на 6:

\[ a^3 = 36 \times 6 = 216 \]

Извлечем кубический корень:

\[ a = ∛216 = 6 \text{ см} \]3. Найдем апофему (l).

Мы уже установили, что l = a.

\[ l = 6 \text{ см} \]4. Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды вычисляется по формуле S_бок. = (1/2) × P_осн. × l, где P_осн. — периметр основания.

Периметр основания P_осн. = 4a = 4 × 6 = 24 см.

\[ S_{бок.} = \frac{1}{2} \times 24 \text{ см} \times 6 \text{ см} = 12 \times 6 = 72 \text{ см}^2 \]Ответ: 72 см²