4. Найдите целые решения системы неравенств \(\begin{cases} 1-5x<4(1-x), \\ 3,5+\frac{x}{4}\ge 2x. \end{cases}\)

Задание 4. Поиск целых решений системы неравенств

Для начала решим каждое неравенство системы отдельно.

Первое неравенство:

\[ 1 - 5x < 4(1 - x) \]

1. Раскроем скобки:
2. \[ 1 - 5x < 4 - 4x \]
3. Перенесём члены с \(x\) влево, а числа вправо:
4. \[ -5x + 4x < 4 - 1 \]
5. \[ -x < 3 \]
6. Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
7. \[ x > -3 \]

Второе неравенство:

\[ 3,5 + \frac{x}{4} \ge 2x \]

1. Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:
2. \[ 4 \cdot (3,5 + \frac{x}{4}) \ge 4 \cdot 2x \]
3. \[ 14 + x \ge 8x \]
4. Перенесём члены с \(x\) вправо, а числа влево:
5. \[ 14 \ge 8x - x \]
6. \[ 14 \ge 7x \]
7. Разделим обе части на 7:
8. \[ 2 \ge x \]
9. Или, что то же самое:
10. \[ x \le 2 \]

Теперь найдём пересечение решений:

Мы получили, что \( x > -3 \) и \( x \le 2 \). Объединяя эти два условия, получаем интервал \( -3 < x \le 2 \).

Найдём целые решения в этом интервале:

Целые числа, которые больше -3 и меньше или равны 2, это: -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.