4. Найдите углы четырёхугольника FMKR, если FR = MK, ∠FMK = 90° и ∠KFM = 35° (по рисунку RM ∥ FK).

В треугольнике FMK:

∠FKM = 180° − 90° − 35° = 55°.

Так как RM ∥ FK, угол между FM и RM равен углу между FM и FK: ∠RFM = 35°. По рисунку FR и MK — равные боковые стороны трапеции, поэтому она равнобедренная, а углы при основании FK равны: ∠RFK = ∠FKM = 55°.

Угол четырёхугольника при F равен ∠RFM + ∠KFM = 35° + 35°? Угол ∠RFM расположен между FR и FM, а ∠KFM — между FK и FM; поскольку FM лежит внутри угла RFK, ∠RFK = ∠RFM + ∠KFM. Следовательно, ∠RFM = 55° − 35° = 20°. Тогда внутренний угол при F равен 55°.

В равнобедренной трапеции углы при основании RM равны и дополнительны к углам при основании FK:

∠R = ∠M = 180° − 55° = 125°.

Ответ: ∠F = 55°, ∠M = 125°, ∠K = 55°, ∠R = 125°.