4. Найдите значение выражения: 1) log₂(2 sin(π/15))+log₂(cos(π/15)); 2) log₄(∛7−∛3)+log₄(∛49+∛21+∛9); 3) lg tg 4 + lg ctg 1; 4) log₍π₎(5+2√6)+log₍π₎(5−2√6).

1. По свойству логарифма суммы: \(\log_2(2\sin\frac{\pi}{15})+\log_2(\cos\frac{\pi}{15})=\log_2(2\sin\frac{\pi}{15}\cos\frac{\pi}{15})\). По формуле \(2\sin a\cos a=\sin 2a\) получаем \(\log_2(\sin\frac{2\pi}{15})\).
2. Обозначим \(a=\sqrt[3]{7}\), \(b=\sqrt[3]{3}\). Тогда второй аргумент равен \(a^2+ab+b^2\), а \((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3=7-3=4\). Поэтому сумма логарифмов равна \(\log_4 4=1\).
3. Считаем, что аргументы тангенса и котангенса заданы в градусах, как обычно подразумевается в такой записи без указания единицы: \(\lg\tan4^\circ+\lg\cot1^\circ=\lg\left(\frac{\tan4^\circ}{\tan1^\circ}\right)\approx\lg(4.0061)\approx0.6027\).
4. \((5+2\sqrt6)(5-2\sqrt6)=25-24=1\), поэтому сумма равна \(\log_\pi 1=0\).

Ответ: 1) \(\log_2(\sin\frac{2\pi}{15})\); 2) 1; 3) приблизительно 0,6027 (при углах в градусах); 4) 0.