4. Найдите значение выражения √(a − 19) + √(a + 19), если √(a − 19) − √(a + 19) = 1.

Обозначим \(x=\sqrt{a-19}\) и \(y=\sqrt{a+19}\). Тогда \(x-y=1\), а разность квадратов равна \(y^2-x^2=(a+19)-(a-19)=38\).

Поскольку \(y^2-x^2=(y-x)(y+x)\), а \(y-x=-1\), имеем \(-1\cdot(x+y)=38\), откуда \(x+y=-38\).

Однако оба квадратных корня неотрицательны, поэтому их сумма не может быть отрицательной. Условие противоречиво: действительного значения \(a\), удовлетворяющего равенству, не существует.

Ответ: такого действительного числа \(a\) нет; заданные условия несовместны.