4. Найти частное комплексных чисел: a) 1/(1-i); б) (3-5i)/(2-4i)

Краткое пояснение:

Чтобы разделить комплексные числа, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Сопряженное число отличается только знаком мнимой части. При умножении комплексного числа на его сопряженное, получается действительное число.

Вычисления:

a) \(\frac{1}{1-i}\)

• Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное к (1-i), то есть на (1+i):
• \[ \frac{1}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{1 \cdot (1+i)}{(1-i)(1+i)} \]
• Знаменатель: (1-i)(1+i) = 1² - i² = 1 - (-1) = 2.
• Числитель: 1 ⋅ (1+i) = 1 + i.
• Результат: \(\frac{1+i}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)i.

б) \(\frac{3-5i}{2-4i}\)

• Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное к (2-4i), то есть на (2+4i):
• \[ \frac{3-5i}{2-4i} \cdot \frac{2+4i}{2+4i} = \frac{(3-5i)(2+4i)}{(2-4i)(2+4i)} \]
• Знаменатель: (2-4i)(2+4i) = 2² - (4i)² = 4 - 16i² = 4 - 16(-1) = 4 + 16 = 20.
• Числитель: (3-5i)(2+4i) = 3(2) + 3(4i) - 5i(2) - 5i(4i) = 6 + 12i - 10i - 20i² = 6 + 2i - 20(-1) = 6 + 2i + 20 = 26 + 2i.
• Результат: \(\frac{26+2i}{20}\) = \(\frac{26}{20}\) + \(\frac{2}{20}\)i = \(\frac{13}{10}\) + \(\frac{1}{10}\)i.

Ответы:

a) \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)i

б) \(\frac{13}{10}\) + \(\frac{1}{10}\)i