5. Решите уравнения в комплексных числах: a) x² - 8x + 17 = 0; б) x² - 3x + 8,5 = 0

Краткое пояснение:

Квадратные уравнения в комплексных числах решаются с помощью дискриминанта. Если дискриминант отрицательный, то корни уравнения будут комплексными и вычисляются по формуле \[ x = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a} \], где D - отрицательный дискриминант.

Решение:

a) x² - 8x + 17 = 0

• Вычисляем дискриминант (D):
• \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(17) = 64 - 68 = -4 \]
• Так как D < 0, корни будут комплексными.
• Используем формулу для комплексных корней:
• \[ x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{-4}}{2(1)} = \frac{8 \pm i\sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2i}{2} \]
• Разделяем на два корня:
• \[ x_1 = \frac{8 + 2i}{2} = 4 + i \]
• \[ x_2 = \frac{8 - 2i}{2} = 4 - i \]

б) x² - 3x + 8,5 = 0

• Вычисляем дискриминант (D):
• \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(8.5) = 9 - 34 = -25 \]
• Так как D < 0, корни будут комплексными.
• Используем формулу для комплексных корней:
• \[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{-25}}{2(1)} = \frac{3 \pm i\sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5i}{2} \]
• Разделяем на два корня:
• \[ x_1 = \frac{3 + 5i}{2} = 1.5 + 2.5i \]
• \[ x_2 = \frac{3 - 5i}{2} = 1.5 - 2.5i \]

Ответы:

a) x₁ = 4 + i, x₂ = 4 - i

б) x₁ = 1.5 + 2.5i, x₂ = 1.5 - 2.5i