4. Найти функцию, обратную данной, определить D(x) и E(y): y = (x − 12)⁻¹.

Запишем данную функцию как \(y=\frac{1}{x-12}\). Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \(D(f)=\mathbb{R}\setminus\{12\}\). Дробь не может равняться нулю, следовательно, \(E(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Найдём обратную функцию: поменяем местами \(x\) и \(y\): \(x=\frac{1}{y-12}\). Тогда \(x(y-12)=1\), откуда \(y=12+\frac{1}{x}\).

Таким образом, \(f^{-1}(x)=12+\frac{1}{x}\). Её область определения — значения области значений исходной функции, а область значений — область определения исходной функции: \(D(f^{-1})=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), \(E(f^{-1})=\mathbb{R}\setminus\{12\}\).