№4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x)=2x^3-9x^2\) на отрезке \([1;4]\).

Найдём производную: \(f'(x)=6x^2-18x=6x(x-3)\). Внутри отрезка производная обращается в ноль при \(x=3\). Проверим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

\(f(1)=2-9=-7\).

\(f(3)=54-81=-27\).

\(f(4)=128-144=-16\).

Сравнивая значения, получаем максимум \(-7\) и минимум \(-27\).

Ответ: наибольшее значение равно \(-7\), наименьшее — \(-27\).