4. Не строя график функции y = −x² + 4x, найдите: а) нули функции; б) промежутки возрастания и убывания функции; в) область значений функции.

Представим функцию в виде квадратичной формы с выделенным квадратом: y = −(x − 2)² + 4. Вершина параболы — (2; 4), ветви направлены вниз.

а) Приравниваем функцию к нулю: −x² + 4x = −x(x − 4) = 0. Следовательно, x = 0 или x = 4.

б) До вершины функция возрастает, после вершины убывает: возрастает на (−∞; 2], убывает на [2; +∞).

в) Наибольшее значение равно 4, поэтому область значений — (−∞; 4].

Ответ: а) 0 и 4; б) возрастает на (−∞; 2], убывает на [2; +∞); в) (−∞; 4].