4. Объем цилиндра 96π см³, высота 6 см. Параллельно оси цилиндра проведена плоскость так, что площадь сечения в 2 раза меньше площади осевого сечения. Найдите расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости.

Из объёма \(V=\pi r^2h\) находим радиус: \(96\pi=\pi r^2\cdot6\), поэтому \(r^2=16\), \(r=4\) см.

Площадь осевого сечения равна \(2r\cdot h=8\cdot6=48\) см². Площадь заданного сечения вдвое меньше: 24 см².

Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра, — прямоугольник высотой 6 см. Его ширина равна хорде основания: \(24:6=4\) см.

Перпендикуляр из центра основания к хорде делит её пополам. Если \(d\) — расстояние от оси до плоскости, то \(d^2+2^2=4^2\), откуда \(d=\sqrt{12}=2\sqrt3\) см.

Ответ: \(2\sqrt3\) см.