4. Одна сторона треугольника на 3 см больше другой, а угол между этими сторонами равен 120°. Третья сторона треугольника равна 13 см. Найдите длины двух неизвестных сторон и периметр треугольника.

Пусть меньшая из двух неизвестных сторон равна \(x\) см, тогда большая равна \(x+3\) см. По теореме косинусов для стороны 13 см:

\(13^2=x^2+(x+3)^2-2x(x+3)\cos120^\circ\).

Поскольку \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем \(169=x^2+(x+3)^2+x(x+3)\), то есть \(3x^2+9x-160=0\).

Положительный корень: \(x=\frac{-9+\sqrt{2001}}{6}\approx6.96\). Второй корень отрицательный и длиной стороны быть не может. Значит, вторая неизвестная сторона равна \(x+3=\frac{9+\sqrt{2001}}{6}\approx9.96\) см.

Периметр: \(P=13+x+(x+3)=16+2x=13+\frac{\sqrt{2001}}{3}\approx30.91\) см.

Ответ: стороны \(\frac{\sqrt{2001}-9}{6}\) см и \(\frac{\sqrt{2001}+9}{6}\) см (примерно 6.96 см и 9.96 см); периметр \(13+\frac{\sqrt{2001}}{3}\) см (примерно 30.91 см).