№4. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Задание №4:

Разберемся с соотношением площади поверхности шара и описанного вокруг него цилиндра.

Дано:

• Цилиндр описан около шара.
• Площадь поверхности цилиндра \[ S_{цилиндра} = 3 \]

Найти: Площадь поверхности шара (S_шара).

Решение:

Когда цилиндр описан около шара, это значит, что:

• Высота цилиндра равна диаметру шара: \[ h_{цилиндра} = 2R_{шара} \]
• Радиус основания цилиндра равен радиусу шара: \[ R_{цилиндра} = R_{шара} \]

Теперь запишем формулы:

• Площадь поверхности цилиндра: \[ S_{цилиндра} = 2\pi R_{цилиндра}(h_{цилиндра} + R_{цилиндра}) \]
• Площадь поверхности шара: \[ S_{шара} = 4\pi R_{шара}^2 \]

Подставим соотношения \[ h_{цилиндра} = 2R_{шара} \] и \[ R_{цилиндра} = R_{шара} \] в формулу площади цилиндра:

\[ S_{цилиндра} = 2\pi R_{шара}(2R_{шара} + R_{шара}) \] \[ S_{цилиндра} = 2\pi R_{шара}(3R_{шара}) \] \[ S_{цилиндра} = 6\pi R_{шара}^2 \]Мы знаем, что \[ S_{цилиндра} = 3 \], поэтому: \[ 3 = 6\pi R_{шара}^2 \]Теперь выразим \[ \pi R_{шара}^2 \]: \[ \pi R_{шара}^2 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]Нам нужно найти площадь поверхности шара, которая равна \[ S_{шара} = 4\pi R_{шара}^2 \]. Мы можем подставить найденное значение \[ \pi R_{шара}^2 \]: \[ S_{шара} = 4 \times \frac{1}{2} \] \[ S_{шара} = 2 \]Важно помнить, что площадь боковой поверхности цилиндра равна площади поверхности шара, а полная площадь поверхности цилиндра в 1.5 раза больше площади поверхности шара.

Ответ: Площадь поверхности шара равна 2.