№5. В правильной четырехугольной призме диагональ равна а и наклонена к плоскости боковой грани под углом а. Найти площадь боковой поверхности призмы.

Задание №5:

Это задача на пространственную геометрию, связанная с правильной четырехугольной призмой.

Дано:

• Правильная четырехугольная призма.
• Диагональ призмы: \[ d = a \]
• Угол наклона диагонали к плоскости боковой грани: \[ \alpha \]

Найти: Площадь боковой поверхности призмы (S_бок.).

Решение:

1. Определение элементов призмы:
   Правильная четырехугольная призма имеет в основании квадрат. Пусть сторона основания равна \[ b \], а высота призмы равна \[ h \].
2. Диагональ призмы:
   Диагональ призмы \[ d \] соединяет противоположные вершины. Её можно найти по формуле: \[ d^2 = (сторона основания)^2 + (диагональ основания)^2 \] \[ d^2 = b^2 + (\sqrt{b^2+b^2})^2 \] \[ d^2 = b^2 + (\sqrt{2b^2})^2 \] \[ d^2 = b^2 + 2b^2 \] \[ d^2 = 3b^2 \]
3. Угол наклона диагонали:
   Диагональ призмы \[ d \] наклонена к плоскости боковой грани под углом \[ \alpha \]. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы, диагональю боковой грани (которая равна высоте призмы \[ h \]) и проекцией диагонали на плоскость боковой грани. В этом треугольнике:
   • Гипотенуза = \[ d \]
   • Катет, противолежащий углу \[ \alpha \] = высота призмы \[ h \]
   • Катет, прилежащий к углу \[ \alpha \] = диагональ основания (образует плоскость основания, а нам нужна боковая грань)
4. Связь через тригонометрию:
   Из определения синуса в прямоугольном треугольнике: \[ \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{d} \]Отсюда, высота призмы: \[ h = d \sin \alpha \]
5. Находим сторону основания:
   Теперь рассмотрим диагональ основания. Пусть \[ d_{осн} \] — диагональ квадрата в основании. Тогда: \[ d_{осн}^2 = b^2 + b^2 = 2b^2 \] \[ d_{осн} = \sqrt{2} b \]
6. Связь диагонали призмы с ребром основания:
   Вернемся к диагонали призмы: \[ d^2 = b^2 + d_{осн}^2 \] \[ a^2 = b^2 + 2b^2 \] \[ a^2 = 3b^2 \] \[ b^2 = \frac{a^2}{3} \] \[ b = \frac{a}{\sqrt{3}} \]
7. Площадь боковой поверхности:
   Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту: \[ S_{бок.} = P_{осн} \times h \]Периметр основания правильной четырехугольной призмы: \[ P_{осн} = 4b \] Подставляем \[ b \] и \[ h \]: \[ S_{бок.} = 4 \times \frac{a}{\sqrt{3}} \times (a \sin \alpha) \] \[ S_{бок.} = \frac{4a^2 \sin \alpha}{\sqrt{3}} \]

Ответ: Площадь боковой поверхности призмы равна \[ \frac{4a^2 \sin \alpha}{\sqrt{3}} \].