4) Окружность ω описана около равнобедренного треугольника ABC, где AB = BC, а CC′ — диаметр окружности ω. Прямая, проходящая через точку C′ параллельно стороне BC, пересекает отрезки AB и AC в точках M и P соответственно. Докажите, что M — середина отрезка C′P.

Положим \(B=(0,0)\), \(A=(1,0)\), \(C=(u,v)\), где \(u^2+v^2=1\), поскольку \(AB=BC\). Обозначим \(s=u+1\). Центр окружности, проходящей через \(A,B,C\), находится на серединном перпендикуляре к \(AB\), поэтому его координаты равны \((1/2,(1-u)/(2v))\). Следовательно, диаметрально противоположная точке \(C\) точка имеет координаты \(C'=(1-u,\ u(1-u)/v)\).

Прямая через \(C'\), параллельная \(BC\), имеет вид \(C'+t(u,v)\). Её пересечение с \(AB\) получается при \(t=-(1-u)/v^2=-1/(1+u)\), откуда \(M=(1-u,0)\).

Точка на отрезке \(AC\) записывается как \(A+q(C-A)\). Приравнивая её к точке прямой \(C'+t(u,v)\), получаем \(q=2/(1+u)\) и \(t=-1/(1+u)\); значит, \(P=A+\frac{2}{1+u}(C-A)\). Тогда \(\frac{C'+P}{2}=(1-u,0)=M\). Следовательно, \(M\) является серединой \(C'P\).