№ 4. Окружность с центром O и радиусом 36 см описана около треугольника ABC так, что ∠OAB = 30°, ∠OCB = 45°. Найдите стороны AB и BC треугольника.

OA = OB = OC = 36 см, поскольку это радиусы окружности.

Найдём AB. Треугольник AOB равнобедренный. ∠OAB = ∠ABO = 30°, поэтому ∠AOB = 180° − 30° − 30° = 120°. По теореме косинусов:

AB² = 36² + 36² − 2 · 36 · 36 · cos 120° = 3888.

Следовательно, AB = 36√3 см.

Найдём BC. Треугольник OCB равнобедренный, поэтому ∠OBC = ∠OCB = 45°, а ∠BOC = 90°. По теореме Пифагора:

BC² = 36² + 36² = 2592, откуда BC = 36√2 см.

Ответ: AB = 36√3 см, BC = 36√2 см.