4. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и углом 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 56 см². Найти площадь полной поверхности призмы.

Третью сторону основания найдём по теореме косинусов. Она является наибольшей, так как лежит напротив угла 120°:

\(c^2=5^2+5^2-2\cdot5\cdot5\cos120°=25+25+25=75,\)

\(c=5\sqrt{3}\text{ см}.\)

Площадь наибольшей боковой грани равна произведению наибольшей стороны основания на высоту призмы:

\(5\sqrt{3}\cdot h=56,\qquad h=\frac{56}{5\sqrt{3}}\text{ см}.\)

Площадь основания:

\(S_{осн}=\frac12\cdot5\cdot5\cdot\sin120°=\frac12\cdot25\cdot\frac{\sqrt{3}}2=\frac{25\sqrt{3}}4\text{ см}^2.\)

Периметр основания:

\(P=5+5+5\sqrt{3}=10+5\sqrt{3}\text{ см}.\)

Площадь боковой поверхности:

\(S_{бок}=Ph=(10+5\sqrt{3})\cdot\frac{56}{5\sqrt{3}}.\)

Площадь полной поверхности:

\[S_{полн}=2S_{осн}+S_{бок}=\frac{25\sqrt{3}}2+(10+5\sqrt{3})\frac{56}{5\sqrt{3}}=56+\frac{299\sqrt{3}}6\text{ см}^2.\]

Ответ: \(56+\frac{299\sqrt{3}}6\) см².