4. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC, у которого гипотенуза AB равна 29 см, катет AC равен 21 см. Ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Так как треугольник ABC прямоугольный, его катеты — AC и BC, а гипотенуза — AB.

1. Найдём второй катет:
   \(BC^2=AB^2-AC^2=29^2-21^2=841-441=400\);
   \(BC=20\) см.
2. Грань DAB — прямоугольный треугольник, так как \(DA\perp AB\):
   \(S_{DAB}=\frac12\cdot20\cdot29=290\) см².
3. Грань DAC — прямоугольный треугольник, так как \(DA\perp AC\):
   \(S_{DAC}=\frac12\cdot20\cdot21=210\) см².
4. В грани DBC найдём высоту к основанию \(BC\). Векторно или по формуле площади: поскольку \(DA\perp\) плоскости основания, проекция ребра \(DB\) на основание равна \(AB=29\), а проще использовать координаты: \(DB=\sqrt{DA^2+AB^2}=\sqrt{20^2+29^2}=\sqrt{1241}\). Однако площадь грани можно найти через основание \(BC=20\) и высоту, равную \(DA=20\), поскольку \(DA\perp BC\):
   \(S_{DBC}=\frac12\cdot20\cdot20=200\) см².
5. Площадь боковой поверхности:
   \(S_{\text{бок}}=290+210+200=700\) см².

Ответ: 700 см².