4. Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, причём AB = 6 см, угол B равен 120°, боковое ребро CC₁ = 8 см. Найти площадь сечения A₁CB₁; 6) тангенс угла наклона плоскости (A₁CB) к плоскости (ACC₁).

Так как ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC, то AB=BC=6 см. По теореме косинусов:

\(AC^2=6^2+6^2-2\cdot6\cdot6\cos120°=108\), значит, \(AC=6\sqrt3\text{ см}\).

В сечении A₁CB₁ стороны CA₁ и CB₁ являются гипотенузами прямоугольных треугольников с катетами 6√3 и 8:

\(CA₁=CB₁=\sqrt{(6\sqrt3)^2+8^2}=2\sqrt{43}\text{ см}\).

Треугольник A₁CB₁ равнобедренный с основанием A₁B₁=AB=6 см. Его высота к основанию равна \(\sqrt{(2\sqrt{43})^2-3^2}=\sqrt{163}\text{ см}\). Поэтому \(S_{A₁CB₁}=\frac12\cdot6\sqrt{163}=3\sqrt{163}\text{ см}^2\).

Для нахождения угла между плоскостями введём координаты: B=(0,0,0), A=(6,0,0), C=(−3,3√3,0), A₁=(6,0,8). Нормальные векторы плоскостей (A₁CB) и (ACC₁) можно взять равными \(n_1=(24\sqrt3,24,−18\sqrt3)\) и \(n_2=(24\sqrt3,72,0)\). Тогда косинус острого угла между плоскостями равен \(\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{12}{\sqrt{273}}\). Следовательно, тангенс угла равен \(\sqrt{1-\frac{144}{273}}\big/\frac{12}{\sqrt{273}}=\frac{\sqrt{129}}{12}\).

Ответ: площадь сечения A₁CB₁ равна 3√163 см²; тангенс угла между плоскостями равен √129/12.