4. Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 11, а периметр 28. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции \( a = 5 \) см и \( b = 11 \) см. Периметр \( P = 28 \) см.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Обозначим длину боковой стороны как \( c \).

Периметр трапеции равен сумме всех сторон: \( P = a + b + 2c \).

Подставим известные значения:

\[ 28 = 5 + 11 + 2c \]

\[ 28 = 16 + 2c \]

\[ 2c = 28 - 16 \]

\[ 2c = 12 \]

\[ c = 6 \] см.

Теперь найдем высоту трапеции. Проведем две высоты из вершин меньшего основания к большему. Они разделят большее основание на три отрезка: \( x \), \( a \), \( x \).

\( b = a + 2x \)

\[ 11 = 5 + 2x \]

\[ 2x = 11 - 5 \]

\[ 2x = 6 \]

\[ x = 3 \] см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной \( c \), высотой \( h \) и отрезком \( x \).

По теореме Пифагора: \( c^2 = h^2 + x^2 \).

\[ 6^2 = h^2 + 3^2 \]

\[ 36 = h^2 + 9 \]

\[ h^2 = 36 - 9 \]

\[ h^2 = 27 \]

\[ h = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \] см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).

\[ S = \frac{5 + 11}{2} \cdot 3\sqrt{3} \]

\[ S = \frac{16}{2} \cdot 3\sqrt{3} \]

\[ S = 8 \cdot 3\sqrt{3} \]

\[ S = 24\sqrt{3} \] см².

Ответ: \( 24\sqrt{3} \) см².