5. Решить уравнение \( \frac{10}{25-x^2} - \frac{1}{5+x} = \frac{x}{5-x} \)

Решение:

Исходное уравнение: \( \frac{10}{25-x^2} - \frac{1}{5+x} = \frac{x}{5-x} \)

Разложим знаменатель первой дроби как разность квадратов: \( 25 - x^2 = (5 - x)(5 + x) \).

Уравнение примет вид: \( \frac{10}{(5-x)(5+x)} - \frac{1}{5+x} = \frac{x}{5-x} \)

Найдем общий знаменатель, который равен \( (5-x)(5+x) \). Учтем, что \( x \neq 5 \) и \( x \neq -5 \).

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( (5-x)(5+x) \):

\[ 10 - 1(5-x) = x(5+x) \]

\[ 10 - 5 + x = 5x + x^2 \]

\[ 5 + x = 5x + x^2 \]

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + 5x - x - 5 = 0 \]

\[ x^2 + 4x - 5 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

Проверим найденные корни на допустимость. Мы наложили ограничения \( x \neq 5 \) и \( x \neq -5 \).

Корень \( x_1 = 1 \) удовлетворяет ограничениям.

Корень \( x_2 = -5 \) не удовлетворяет ограничениям, так как знаменатель \( 25-x^2 \) и \( 5+x \) обращается в ноль при \( x=-5 \). Следовательно, \( x = -5 \) является посторонним корнем.

Ответ: 1.