4. Отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ — медианы треугольника $ABC$. Выразите векторы $\overrightarrow{AA_1}$, $\overrightarrow{BB_1}$, $\overrightarrow{CC_1}$ через векторы $\vec a=\overrightarrow{AC}$ и $\vec b=\overrightarrow{AB}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ — медианы треугольника $ABC$. Выразите векторы $\overrightarrow{AA_1}$,…$ Фото задания

4. Отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ — медианы треугольника $ABC$. Выразите векторы $\overrightarrow{AA_1}$, $\overrightarrow{BB_1}$, $\overrightarrow{CC_1}$ через векторы $\vec a=\overrightarrow{AC}$ и $\vec b=\overrightarrow{AB}$.

Accepted Answer

Так как $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины противоположных сторон, используем формулу радиус-вектора середины отрезка.

Для медианы из $A$: $\overrightarrow{AA_1}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac12(\vec b+\vec a)$.

Для медианы из $B$: $\overrightarrow{AB_1}=\frac12\vec a$, поэтому $\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1}=-\vec b+\frac12\vec a$.

Для медианы из $C$: $\overrightarrow{AC_1}=\frac12\vec b$, поэтому $\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC_1}=-\vec a+\frac12\vec b$.

Ответ: $\overrightarrow{AA_1}=\frac12(\vec a+\vec b)$, $\overrightarrow{BB_1}=\frac12\vec a-\vec b$, $\overrightarrow{CC_1}=\frac12\vec b-\vec a$.