4. Пересекает ли прямая y=2-x график функции y = √x? Если пересекает, то в какой точке?

Решение:

Чтобы определить, пересекает ли прямая \( y = 2 - x \) график функции \( y = \sqrt{x} \), нужно решить систему уравнений:

\( \begin{cases} y = 2 - x \\ y = \sqrt{x} \end{cases} \)

Приравняем правые части уравнений:

\[ 2 - x = \sqrt{x} \]

Перенесём \( x \) в правую часть:

\[ 2 = \sqrt{x} + x \]

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня. Для этого сначала выразим \( \sqrt{x} \):

\[ \sqrt{x} = 2 - x \]

Убедимся, что \( 2 - x \geq 0 \) (так как \( \sqrt{x} \geq 0 \)), значит \( x \leq 2 \). Также, так как \( y = \sqrt{x} \), то \( x \geq 0 \). Следовательно, \( 0 \leq x \leq 2 \).

Возводим в квадрат:

\[ (\sqrt{x})^2 = (2 - x)^2 \]

\[ x = 4 - 4x + x^2 \]

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 4x - x + 4 = 0 \]

\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \).

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Проверим полученные корни на соответствие условию \( 0 \leq x \leq 2 \).

• Корень \( x_1 = 4 \) не удовлетворяет условию \( x \leq 2 \), поэтому он посторонний.
• Корень \( x_2 = 1 \) удовлетворяет условию \( 0 \leq x \leq 2 \).

Найдем соответствующее значение \( y \) для \( x = 1 \) по любому из уравнений. Возьмем \( y = \sqrt{x} \):

\[ y = \sqrt{1} = 1 \]

Таким образом, графики пересекаются в одной точке.

Ответ: Да, пересекаются в точке (1; 1).