5. Докажите, что значение выражения \(\left(\frac{3}{2-\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}\right)(\sqrt{5}-11)\) является рациональным числом.

Решение:

Докажем, что значение выражения является рациональным числом, упростив его.

Сначала преобразуем выражение в скобках:

\[ \frac{3}{2-\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} \]

Приведём к общему знаменателю \( (2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5}) \):

\[ \frac{3(2+\sqrt{5}) - \sqrt{5}(2-\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} = \frac{6 + 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 5}{2^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{11 + \sqrt{5}}{4 - 5} = \frac{11 + \sqrt{5}}{-1} = -(11 + \sqrt{5}) \]

Теперь умножим полученное выражение на \( (\sqrt{5}-11) \):

\[ -(11 + \sqrt{5})(\sqrt{5}-11) \]

Заметим, что \( (11 + \sqrt{5})(\sqrt{5}-11) = -(\sqrt{5}+11)(\sqrt{5}-11) \). Используем формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \). Здесь \( a = \sqrt{5} \) и \( b = 11 \).

\[ -(\sqrt{5}+11)(\sqrt{5}-11) = -( (\sqrt{5})^2 - 11^2 ) = -(5 - 121) = -(-116) = 116 \]

Полученное значение \( 116 \) является целым числом, а следовательно, и рациональным.

Ответ: Значение выражения равно 116, что является рациональным числом.