№4. Периметр прямоугольного треугольника равен 48 м, а его гипотенуза — 20 м. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты равны \(x\) м и \(y\) м.

По условию:

\[x+y+20=48,\qquad x+y=28.\]

По теореме Пифагора:

\[x^2+y^2=20^2=400.\]

Возведём сумму катетов в квадрат:

\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2,\]

\[28^2=400+2xy,\]

\[784=400+2xy,\qquad xy=192.\]

Катеты являются корнями уравнения:

\[t^2-28t+192=0.\]

\[D=28^2-4\cdot192=784-768=16,\]

\[t=\frac{28\pm4}{2}.\]

Следовательно, \(t_1=16\), \(t_2=12\).

Ответ: катеты 12 м и 16 м.